Narodil se do umělecké rodiny herečky Jarmily Horské (1931-84) a skladatele, dirigenta, režiséra a herce Mirko Čecha-Rösnera (1916-64). Od své babičky, operetní pěvkyně, již od mládí získával vztah k umění a divadlu. Borisovi rodiče se však rozvedli, když mu byl pouze jeden rok, a mladý herec vyrůstal v různých městech, kde právě byla jeho matka v angažmá – v chebském divadle působila v letech 1962-70. Proto žil i v Chebu, kde dokončil základní a střední školu. Uvažoval o studiu medicíny, ale zůstal u herectví, které vystudoval na DAMU roku 1973. Měl postupně angažmá v Divadle F. X. Šaldy v Liberci, v Městských divadlech pražských a od roku 1987 v Národním divadle v Praze. Vedle divadla a filmu působil i jako pedagog.
Podlehl rakovině plic ve věku 55 let. Vedle několika ocenění získal roku 2006 státní vyznamenání ČR – medaili Za zásluhy 1. stupně (in memoriam).